2015高考理科数学全国卷2|2015年高考理科数学考前冲刺试题及答案解析

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　　一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

　　1．（5分）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（　　）

　　A．2﹣iB．2+iC．4﹣iD．4+i

　　【考点】：复数代数形式的乘除运算．

　　【专题】：数系的扩充和复数．

　　【分析】：直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求．

　　【解析】：解：由z=|（﹣i）i|+i5=，

　　故选：A．

　　【点评】：本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．

　　2．（5分）若[﹣1，1]?{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（　　）

　　A．[﹣1，0]B．[2﹣2，0]C．（﹣∞，﹣2]D．[2﹣2，2+2]

　　【考点】：集合的包含关系判断及应用．

　　【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．

　　【分析】：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．

　　【解析】：解：令y=x2﹣tx+t，

　　①若t=0，

　　则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，

　　②若t＞0，

　　则ymax=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；

　　③若t＜0，

　　则ymax=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，

　　ymin=（）2﹣t?+t≥﹣1，

　　即t2﹣4t﹣4≤0，

　　解得，2﹣2≤t≤2+2，

　　则2﹣2≤t＜0，

　　综上所述，

　　2﹣2≤t≤0．

　　故选B．

　　【点评】：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．

　　3．（5分）已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（　　）

　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件

　　C．充要条件D．既不充分也不必要条

　　【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

　　【专题】：简易逻辑．

　　【分析】：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

　　【解析】：解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，

　　则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+，

　　若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，

　　若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，

　　故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，

　　故选：B

　　【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键．

　　4．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（　　）

　　A． B． C．或D．或

　　【考点】：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．

　　【专题】：计算题．

　　【分析】：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．

　　当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．

　　【解析】：解：依题意可知m=±=±4

　　当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==

　　当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=

　　故选D

　　【点评】：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．

　　5．（5分）（2015?山东一模）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（　　）

　　A． B．2C．2D．4

　　【考点】：正弦定理．

　　【专题】：解三角形．

　　【分析】：由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．

　　【解析】：解：△ABC中，b=2，A=120°，三角形的面积S==bc?sinA=c?，c=2=b，

　　故B=（180°﹣A）=30°．

　　再由正弦定理可得=2R==4，三角形外接圆的半径R=2，

　　故选：B．

　　【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．

　　6．（5分）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（　　）

　　A．3πB．4πC．2πD．

　　【考点】：由三视图求面积、体积．

　　【专题】：空间位置关系与距离．

　　【分析】：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．

　　【解析】：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．

　　因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，

　　其表面积S=4πR2=3π．

　　故选：A．

　　【点评】：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

　　7．（5分）（2015?山东一模）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（　　）

　　A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8]

　　【考点】：简单线性规划．

　　【专题】：分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．

　　【分析】：由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

　　【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，

　　由定义max{a，b}=，得

　　z=max{4x+y，3x﹣y}=，

　　当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；

　　当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；

　　当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；

　　当直线y=﹣4x+z过A（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．

　　综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．

　　故选：B．

　　【点评】：本题是新定义题，考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．

　　8．（5分）（2015?山东一模）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（　　）

　　A．2B．4C．8D．16

　　【考点】：基本不等式；对数函数的图像与性质．

　　【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

　　【分析】：现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果

　　【解析】：解：y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，

　　当x+3=1时，即x=﹣2时，y=﹣1，

　　A点的坐标为（﹣2，﹣1），

　　点A在直线mx+ny+1=0上，

　　﹣2m﹣n+1=0，

　　即2m+n=1，

　　m，n均大于0，

　　=+=2+++2≥4+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，

　　故的最小值为8，

　　故选：C

　　【点评】：本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题

　　9．（5分）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（　　）

　　A． B． C． D．

　　【考点】：余弦定理；正弦定理．

　　【专题】：解三角形．

　　【分析】：已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．

　　【解析】：解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

　　由sinC≠0，整理得：cosA=，即A=，

　　由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣bc①，

　　与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，

　　由正弦定理=，得：sinB===，

　　b＜c，B＜C，

　　则B=．

　　故选：B．

　　【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

　　10．（5分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（　　）

　　A．1B． C．eD．

　　【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．

　　【专题】：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．

　　【分析】：当a=4时，函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）++x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．

　　【解析】：解：当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：

　　y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，

　　设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，

　　则m（x0）=0．

　　m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）

　　若x0＜，φ（x）在（x0，）上单调递减，

　　当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；

　　若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，

　　当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；

　　y=h（x）在（0，）（，+∞）上不存在“类对称点”．

　　若x0=，（x﹣）2＞0，

　　m（x）在（0，+∞）上是增函数，

　　当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，

　　当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．

　　即此时点P是y=f（x）的“类对称点”

　　综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．

　　故选B．

　　【点评】：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．

　　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

　　11．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为　a=1　．

　　【考点】：其他不等式的解法．

　　【专题】：不等式的解法及应用．

　　【分析】：不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，由此求得实数a的值．

　　【解析】：解：由题意可得，不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，

　　a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．

　　再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，故a=1，

　　故答案为a=1．

　　【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．

　　12．（5分）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=　1：　．

　　【考点】：抛物线的简单性质．

　　【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．

　　【分析】：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MPl于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tanMNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．

　　【解析】：解：抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），

　　抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，

　　过M作MPl于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，

　　Rt△MPN中，tanMNP=﹣k=，

　　=，可得|PN|=2|PM|，

　　得|MN|==|PM|

　　因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：．

　　故答案为：1：．

　　【点评】：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．

　　13．（5分）（2015?山东一模）已知函数则=　　．

　　【考点】：定积分．

　　【专题】：导数的综合应用．

　　【分析】：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．

　　【解析】：解：=，

　　由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，

　　=．

　　又dx==e2﹣e．

　　==好．

　　故答案为：．

　　【点评】：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．

　　14．（5分）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为　96　．（用数字作答）

　　【考点】：排列、组合及简单计数问题．

　　【专题】：概率与统计．

　　【分析】：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．

　　【解析】：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．

　　故答案为96．

　　【点评】：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．

　　15．（5分）（2015?山东一模）已知函数f（x）=xex，记f0（x）=f′（x），f1（x）=f′（x0），…，fn（x）=f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：

　　①函数f（x）存在平行于x轴的切线；

　　②＞0；

　　③f′2012（x）=xex+2014ex；

　　④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．

　　其中正确的命题序号是　①③　（写出所有满足题目条件的序号）．

　　【考点】：导数的运算．

　　【专题】：导数的概念及应用．

　　【分析】：根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错

　　【解析】：解：对于①，因为f′（x）=（x+1）ex，易知f′（﹣1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；

　　对于②，因为f′（x）=（x+1）ex，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，函数f（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故＞0的正负不能定，故②错；

　　对于③，因为f1（x）=f′（x0）=xex+2ex，f2（x）=f′（x1）=xex+3ex，…，fn（x）=f′n﹣1（x）=xex+（n+1）ex，

　　所以f′2012（x）=f2013（x）=xex+2014ex；故③正确；

　　对于④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，构建函数h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=（x+1）ex﹣1，

　　易知函数h（x）在R上不单调，故④错；

　　故答案为：①③

　　【点评】：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题

　　三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

　　16．（12分）已知函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）．

　　（1）求f（x）的单调递增区间；

　　（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）=，a=b，证明：C=3B．

　　【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．

　　【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．

　　【分析】：（1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；

　　（2）由f（A）=，及0＜A＜π，即可得到A=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证．

　　【解析】：（1）解：函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）

　　=2（sinx+sinx﹣cosx）=2（sinx﹣cosx）

　　=2sin（x﹣），

　　令2kπ﹣≤x﹣≤2k，k∈Z，

　　则2kπ﹣≤x≤2kπ，

　　则f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ]，k∈Z．

　　（2）证明：由f（A）=，则sin（A﹣）=，

　　由0＜A＜π，则﹣＜A﹣＜，

　　则A=，

　　由=，a=b，则sinB=，

　　由a＞b，A=，B=，C=，

　　故C=3B．

　　【点评】：本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题．

　　17．（12分）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

　　福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮

　　数量11123

　　从中随机地选取5只．

　　（）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

　　（）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．

　　【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

　　【专题】：概率与统计．

　　【分析】：（）根据排列组合知识得出P=运算求解即可．

　　（）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），列出分布列即可．

　　【解析】：解：（）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===，

　　（）ξ的取值为：10，8，6，4．

　　P（ξ=10）==，

　　P（ξ=8）=，

　　P（ξ=6）==，

　　P（ξ=4）==

　　ξ的分布列为：

　　ξ10864

　　P

　　﹣

　　Eξ==7.5．

　　【点评】：本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．

　　18．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）

　　（1）求证：A1E平面BEP

　　（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；

　　（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．

　　【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

　　【专题】：空间角．

　　【分析】：（1）设正三角形ABC的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF是正三角形，从而得到EFAD．在图2中，推导出A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角，且A1EBE．由此能证明A1E平面BEP．

　　（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小．

　　（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．

　　【解析】：（1）证明：不妨设正三角形ABC的边长为3．

　　在图1中，取BE的中点D，连结DF．

　　AE：EB=CF：FA=1：2，AF=AD=2，而A=60度，

　　ADF是正三角形，又AE=DE=1，EF⊥AD．

　　在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．

　　由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE．

　　又BE∩EF=E，A1E⊥平面BEF，即A1E平面BEP．

　　（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，

　　则E（0，0，0），A（0，0，1），

　　B（2，0，0），F（0，0），P（1，0），则，．

　　设平面ABP的法向量为，

　　由平面ABP知，即令，得，．，

　　直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．

　　（3），

　　设平面A1FP的法向量为．

　　由平面A1FP知，

　　令y2=1，得，．，

　　所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．

　　【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

　　19．（12分）数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为Sn，满足Sn2=an（Sn﹣）．

　　（1）求Sn的表达式；

　　（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，不等式Tn≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．

　　【考点】：数列的求和；数列递推式．

　　【专题】：等差数列与等比数列．

　　【分析】：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；

　　（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出．

　　【解析】：解：（1）Sn2=an（Sn﹣）=．

　　化为，

　　数列是首项为==1，公差为2的等差数列．

　　故=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

　　Sn=．

　　（2）bn===，

　　故Tn=+…+=．

　　又不等式Tn≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，

　　≥（m2﹣5m），

　　化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．

　　正整数m的最大值为6．

　　【点评】：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

　　20．（13分）（2015?山东一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且PF1O=45°．

　　（）求椭圆G的标准方程；

　　（）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．

　　（）证明：m1+m2=0；

　　（）求四边形ABCD的面积S的最大值．

　　【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

　　【专题】：综合题．

　　【分析】：（）根据F1（﹣1，0），PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；

　　（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

　　（）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；

　　（）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．

　　【解析】：（）解：设椭圆G的标准方程为．

　　因为F1（﹣1，0），PF1O=45°，所以b=c=1．

　　所以，a2=b2+c2=2．…（2分）

　　所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）

　　（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

　　（）证明：由消去y得：．

　　则，…（5分）

　　所以===．

　　同理．…（7分）

　　因为|AB|=|CD|，

　　所以．

　　因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）

　　（）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）

　　所以=．

　　（或）

　　所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）

　　【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．

　　21．（14分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．

　　（）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；

　　（）讨论f（x）在定义域上的单调性；

　　（）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．

　　【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

　　【专题】：导数的综合应用．

　　【分析】：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．

　　（）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；

　　（）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．

　　【解析】：解：（1）因为，

　　令f（1）=0，即，解得a=﹣4，

　　经检验：此时，x∈（0，1），f（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f（x）＜0，f（x）递减，

　　f（x）在x=1处取极大值．满足题意．

　　（2），

　　令f（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）

　　①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f（x）＜0，f（x）递减；

　　②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，则f（x）＜0，f（x）递减；

　　若，0），则f（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f（x）＜0，f（x）递减；

　　③当，即a=﹣2时，f（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，

　　④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，

　　则f（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f（x）＜0，f（x）递减；

　　（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，

　　，i=1，2，3，…，n，

　　【点评】：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．

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